Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int\frac{x+\ln x-1}{(x\ln x+2)^{2}}dx$
Đặt $u=2+x\ln x$, có $du=(1+\ln x)dx=dx+\ln xdx\implies dx=du-\ln xdx$,
Ta có
$\begin{aligned}(x+\ln x-1)dx&=xdx-2dx+(\ln x+1)dx\\ &=x(du-\ln xdx)-2dx+du\\ &=(x+1)du-(x\ln x+2)dx\\ &=(x+1)du-udx\end{aligned}$
$\begin{aligned}(x+\ln x-1)dx&=xdx-2dx+(\ln x+1)dx\\ &=x(du-\ln xdx)-2dx+du\\ &=(x+1)du-(x\ln x+2)dx\\ &=(x+1)du-udx\end{aligned}$
Cho nên $\displaystyle\frac{(x+\ln x-1)dx}{(x\ln x+2)^{2}}=-\frac{ud(x+1)-(x+1)du}{u^{2}}=-d\left( \frac{x+1}{u}\right)=-d\left( \frac{x+1}{2+x\ln x}\right)$
Vậy $ I=-\dfrac{x+1}{2+x\ln x}+C$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét