Nguyên hàm 9

Tìm nguyên hàm. :$\displaystyle\int\left( x+1-\frac{1}{x} \right)e^{x+\frac{1}{x}}dx$

$\begin{aligned}\displaystyle\int\left( x+1-\frac{1}{x} \right)e^{x+\frac{1}{x}}dx&=\int e^{x+\frac{1}{x}}dx+\int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx\\ &=\int e^{x+\frac{1}{x}}dx+\int xd\left(e^{x+\frac{1}{x}}\right)\\ &=\int e^{x+\frac{1}{x}}dx+x.e^{x+\frac{1}{x}}-\int e^{x+\frac{1}{x}}dx\\ &=x.e^{x+\frac{1}{x}}+C\end{aligned}$

Nguyên hàm 8

Tìm $\displaystyle \int \dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}dx$

$\begin{aligned}D&=\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}dx=-\ln(1+e^x)d\left(\dfrac{1}{e^x}\right)=-d\left(\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}\right)+\dfrac{1}{e^x}d\left(\ln(1+e^x)\right)\\
&=-d\left(\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}\right)+\dfrac{dx}{1+e^x}=-d\left(\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}\right)+dx-\dfrac{e^xdx}{1+e^x}=-d\left(\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}\right)+dx-d\left(\ln(1+e^x)\right)\end{aligned}$

Vậy $\displaystyle \int \dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}dx=-\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}+x-\ln(1+e^x)+C$

Tích phân 7

Tính tích phân sau: $\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{0}{\frac{dx}{1+\sqrt{-x\left( x+1 \right)}}}$

Để ý $\displaystyle1+\sqrt{-x\left( x+1 \right)}=1 + \sqrt { - x^2 - x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}   = 1 + \sqrt {\frac{1}{4} - \left( x + \frac{1}{2} \right)^2} $
Đặt: $\displaystyle x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sin u \implies dx = \frac{1}{2}\cos udu$.
Đổi cận $\displaystyle x = 0 \implies u = \frac{\pi }{2},\quad x =  - \frac12 \implies u = 0 $
Ta được $  I =\displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\cos u}{1 +\sqrt {\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sin^2u}} du= \int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\cos u}{2 + \cos u}du $.
Đặt $\displaystyle t = \tan \frac{u}{2} \implies   dt = \frac{1}{2}\left( 1 + t^2 \right)du,\quad \cos u = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$
Đổi cận $\displaystyle u = \frac{\pi }{2}\implies t=1,\quad u = 0\implies t=0 $
Nên $  I = 2\displaystyle\int_0^1 \frac{ \frac{1 - t^2}{1 + t^2} }{ 2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} } \frac{dt}{1 + t^2}   =2\displaystyle\int_0^1 {\frac{{1 - {t^2}}}{{\left( {1 + {t^2}} \right)\left( {3 + {t^2}} \right)}}dt}  = 2\int_0^1\left( \frac{1}{t^2 + 1}  -  \frac{2}{t^2 + 3}\right)dt  = \cdots $

Nguyên hàm 7

Tìm nguyên hàm $I=\displaystyle\int\frac{x+\ln x-1}{(x\ln x+2)^{2}}dx$

Đặt $u=2+x\ln x$, có $du=(1+\ln x)dx=dx+\ln xdx\implies dx=du-\ln xdx$, 

Ta có
$\begin{aligned}(x+\ln x-1)dx&=xdx-2dx+(\ln x+1)dx\\ &=x(du-\ln xdx)-2dx+du\\ &=(x+1)du-(x\ln x+2)dx\\ &=(x+1)du-udx\end{aligned}$

Cho nên $\displaystyle\frac{(x+\ln x-1)dx}{(x\ln x+2)^{2}}=-\frac{ud(x+1)-(x+1)du}{u^{2}}=-d\left( \frac{x+1}{u}\right)=-d\left( \frac{x+1}{2+x\ln x}\right)$

Vậy  $ I=-\dfrac{x+1}{2+x\ln x}+C$

Tích phân 6

Tính tích phân $I=\displaystyle\int_1^e\frac{1-x-\ln x}{(x\ln x-x+1)^2}dx$

Để ý $\displaystyle\left(\frac{ax+b}{x\ln x-x+1}\right)’=\frac{a-ax-b\ln x}{(x\ln x-x+1)^2}$

Đồng nhất $a-ax-b\ln x=1-x-\ln x$ 

Ta được $\begin{cases}-a=1\\ -b=-1\\ a=1\end{cases} \iff\begin{cases}a=1\\ b=1\end{cases}$

Nên $\displaystyle\left(\frac{x+1}{x\ln x-x+1}\right)’=\frac{1-x-\ln x}{(x\ln x-x+1)^2}$

Vậy $I=\displaystyle\frac{x+1}{x\ln x-x+1}\bigg|_1^e=\cdots$

Tích phân 5

Tính tích phân $I=\displaystyle\int_0^1\frac{\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2}dx$

Đặt $x=t^6 \implies dx=6t^5dt$ đổi cận $x=0\implies t=0$, $x=1\implies t=1$

Ta được $I=\displaystyle\int_0^1\frac{6t^8}{\left(1+t^2\right)^2}dt =-\int_0^1 3t^7d\left(\frac{1}{1+t^2}\right)$

Dùng pp tp từng phần $I=\displaystyle-\frac{3t^7}{1+t^2}\bigg|_0^1+\int_0^1 \frac{21t^6}{1+t^2}dt$

Chia đa thức $I=\displaystyle-\frac{3t^7}{1+t^2}\bigg|_0^1+21\int_0^1 \left(t^4-t^2+1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt$

$I=\displaystyle-\frac{3t^7}{1+t^2}\bigg|_0^1+21 \left(\frac15t^5-\frac13t^3+t\right)\bigg|_0^1-21\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}$

đến đây có lẻ các bạn tính tiếp được rồi

Tích phân 4

Tính tích phân $I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x-e^x}{xe^x+x+1}dx$

Chú ý $(xe^x+x+1)’=xe^x+e^x+1$

Ta có 

$\begin{aligned}I=&\displaystyle\int_0^1\dfrac{x-e^x}{xe^x+x+1}dx\\ =&\int_0^1\dfrac{xe^x+x+1-(xe^x+e^x+1)}{xe^x+x+1}dx\\ =&\int_0^1dx-\int_0^1\dfrac{(xe^x+x+1)’}{xe^x+x+1}dx\\ =&x \bigg|_0^1-\ln(xe^x+x+1) \bigg|_0^1\\ =&1-\ln(e+2)\end{aligned}$