Tích phân 7

Tính tích phân sau: $\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{0}{\frac{dx}{1+\sqrt{-x\left( x+1 \right)}}}$

Để ý $\displaystyle1+\sqrt{-x\left( x+1 \right)}=1 + \sqrt { - x^2 - x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}   = 1 + \sqrt {\frac{1}{4} - \left( x + \frac{1}{2} \right)^2} $
Đặt: $\displaystyle x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sin u \implies dx = \frac{1}{2}\cos udu$.
Đổi cận $\displaystyle x = 0 \implies u = \frac{\pi }{2},\quad x =  - \frac12 \implies u = 0 $
Ta được $  I =\displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\cos u}{1 +\sqrt {\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sin^2u}} du= \int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{\cos u}{2 + \cos u}du $.
Đặt $\displaystyle t = \tan \frac{u}{2} \implies   dt = \frac{1}{2}\left( 1 + t^2 \right)du,\quad \cos u = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$
Đổi cận $\displaystyle u = \frac{\pi }{2}\implies t=1,\quad u = 0\implies t=0 $
Nên $  I = 2\displaystyle\int_0^1 \frac{ \frac{1 - t^2}{1 + t^2} }{ 2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} } \frac{dt}{1 + t^2}   =2\displaystyle\int_0^1 {\frac{{1 - {t^2}}}{{\left( {1 + {t^2}} \right)\left( {3 + {t^2}} \right)}}dt}  = 2\int_0^1\left( \frac{1}{t^2 + 1}  -  \frac{2}{t^2 + 3}\right)dt  = \cdots $