Tích phân 2

Tính tích phân: $I=\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx$

Đặt $x=\tan t\implies dx=(1+\tan^2 t) dt \implies \dfrac{dx}{1+x^2}=dt$
đổi cận $x=0\implies t=0; x=1\implies t=\dfrac{\pi}{4}$ $$I= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+ \tan t ) dt.$$ Đặt $t=\dfrac{\pi}{4} -u \implies dt=-du$, đổi cận $t=0\implies u=\dfrac{\pi}{4}; t=\dfrac{\pi}{4}\implies u=0$ $$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(1+ \dfrac{1-\tan u}{1+\tan u} \right) du =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \left( \dfrac{2}{1+\tan u} \right) du$$ $$I= \ln 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}du-I$$
Vậy $I=\dfrac{\pi}{8} \ln 2$