Tích phân 1

Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^4\frac{\ln\left( x + 1 \right)}{\sqrt {1 + 2x} }dx$

$$I = \int_0^4\ln \left( x + 1 \right)d\left( \sqrt {1 + 2x}  \right)  = \sqrt {1 + 2x} \ln \left(x + 1 \right)\Bigg|_0^4 - \int_0^4\frac{\sqrt {1 + 2x} }{x + 1}dx$$ Đặt $t=\sqrt{1+2x}\implies t^2=2x+1\implies tdt=dx$,
đổi cận $x=0\implies t=1$, $x=4\implies t=3$ $$I=3\ln5-\int_1^3\frac{2t^2}{t^2+1}dt=3\ln5-2\int_1^3\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)dt$$ $$I=3\ln5-2t\Bigg|_1^3+2\arctan t\Bigg|_1^3=3\ln5-4+2\arctan3-\frac{\pi}{2}$$