Nguyên hàm 6

Tính nguyên hàm $I= \displaystyle\int \dfrac{(x-1)\ln^2 x }{(x\ln x-x+1)^2}dx$

 Để ý $(x\ln x-x+1)'=\ln x$. Dùng phương pháp từng phần ta có
$\begin{aligned}I&=(x-1)\ln x. \left( \dfrac{-1}{x\ln x-x+1}\right)+ \displaystyle\int \dfrac{x\ln x+x-1 }{x(x\ln x-x+1)}dx\\
&=(x-1)\ln x. \left( \dfrac{-1}{x\ln x-x+1}\right)+ \displaystyle\int \dfrac{2x\ln x-(x\ln x-x+1)}{x(x\ln x-x+1)}dx\\
&= (x-1)\ln x. \left( \dfrac{-1}{x\ln x-x+1}\right)+ \displaystyle\int \dfrac{2\ln x}{x\ln x-x+1}dx- \displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx\\
&=(x-1)\ln x. \left( \dfrac{-1}{x\ln x-x+1}\right)+ 2\ln |x\ln x-x+1|- \ln |x|+C \end{aligned}$

Cấu trúc đề thi tuyển sinh đại học môn Toán

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm):
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=ax^3+bx^2+cx+d, y=ax^4+bx^2+c, y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$.
b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)...
Câu 2 (1 điểm):
Công thức lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu 3 (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu 4 (1 điểm):
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu 5 (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau.
Câu 6 (1 điểm):
Bài toán tổng hợp.Tìm GTLN,GTNN, Chứng minh BĐT

II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
Theo chương trình chuẩn:
Câu 7a (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, elip.
- Viết phương trình đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Câu 8a (1 điểm)
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, Mặt cầu.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 9a (1 điểm):
- Số phức.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
Theo chương trình nâng cao:
Câu 7b (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, ba đường conic.
- Viết phương trình đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Câu 8b (1 điểm):
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 9b (1 điểm):
- Số phức.
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lôgarit.
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.

Nguyên hàm 5

Tìm nguyên hàm : $\displaystyle\int\left(\dfrac{\ln x}{\ln x+2}\right)^2dx$

Ta có $$\begin{align*}\left(\dfrac{\ln x}{\ln x+2}\right)^2&=\dfrac{\ln^2 x}{\left(\ln x+2\right)^2}\\&=\dfrac{\ln^2 x+4\ln x+4-4\ln x-4}{\left(\ln x+2\right)^2}\\&=1-4\dfrac{\ln x+1}{\left(\ln x+2\right)^2} \\&=1-4\dfrac{\ln x+2-x\dfrac{1}{x}}{\left(\ln x+2\right)^2}\\&=1-4\dfrac{\left(\ln x+2\right)(x)'-x\left(\ln x+2\right)'}{\left(\ln x+2\right)^2}\\&=1-4\left(\dfrac{x}{\ln x+2} \right)'\end{align*}$$ Vậy  $\displaystyle\int\left(\dfrac{\ln x}{\ln x+2}\right)^2dx=x-4\dfrac{x}{2+\ln x}+C$

Tích phân 3

Tính tích phân $ I=\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{3-4\ln^2 x}{4x^{2}\sqrt{1+\ln x}}dx$

 Đặt $y=\sqrt{1+\ln x}$, ta có $\ln x=y^2-1$, do đó $\dfrac{1}{y}=y'2x$ và\[\begin{align*}\frac{3-4\ln^{2} x}{4x^{2}\sqrt{1+\ln  x}}&=\frac{3-4\left(y^2-1\right)^2}{4x^2y}\\&=\frac{6y^2-1-\left(4y^4-2y^2\right)}{4x^2y}\\&=\frac{\frac{6y^2-1}{y}-\left(4y^3-2y\right)}{4x^2}\\&=\frac{(6y^2-1)y'2x-\left(2y^3-y\right)(2x)'}{(2x)^2}\\&=\frac{(2y^3-y)'2x-\left(2y^3-y\right)(2x)'}{(2x)^2}\\&=\left(\frac{2y^3-y}{2x}\right)'\\ &=\left(\dfrac{2\left(\sqrt{1+\ln x}\right)^3-\sqrt{1+\ln x}}{2x}\right)'\end{align*}\]Vậy $I=\left(\dfrac{2\left(\sqrt{1+\ln x}\right)^3-\sqrt{1+\ln x}}{2x}\right)\Bigg|_1^2=\dfrac{2\left(\sqrt{1+\ln 2}\right)^3-\sqrt{1+\ln 2}-2}{4}$

Tích phân 2

Tính tích phân: $I=\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx$

Đặt $x=\tan t\implies dx=(1+\tan^2 t) dt \implies \dfrac{dx}{1+x^2}=dt$
đổi cận $x=0\implies t=0; x=1\implies t=\dfrac{\pi}{4}$ $$I= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+ \tan t ) dt.$$ Đặt $t=\dfrac{\pi}{4} -u \implies dt=-du$, đổi cận $t=0\implies u=\dfrac{\pi}{4}; t=\dfrac{\pi}{4}\implies u=0$ $$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(1+ \dfrac{1-\tan u}{1+\tan u} \right) du =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \left( \dfrac{2}{1+\tan u} \right) du$$ $$I= \ln 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}du-I$$
Vậy $I=\dfrac{\pi}{8} \ln 2$

Nguyên hàm 4

Tìm nguyên hàm:  $I=\displaystyle\int x^2\sqrt{x^2+9}dx$

Đặt $u=x\implies u'=1$; $v'=x\sqrt{x^2+9}$ chọn $ v=\frac{1}{3}(x^2+9)\sqrt{x^2+9}$ $$I=\frac{1}{3}x(x^2+9)\sqrt{x^2+9}-\frac{1}{3}\int(x^2+9)\sqrt{x^2+9}dx$$ $$ \iff \frac{4}{3}I=\frac{1}{3}x(x^2+9)\sqrt{x^2+9}-3\int \sqrt{x^2+9}dx$$ Mà $\displaystyle\int \sqrt{x^2+9}dx=x\sqrt{x^2+9}-\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}dx$

 $\displaystyle\int \sqrt{x^2+9}dx=x\sqrt{x^2+9}-\displaystyle\int \sqrt{x^2+9}dx+9\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$

 Vì $\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+9}\right)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+9}}$ $$2\displaystyle\int \sqrt{x^2+9}dx=x\sqrt{x^2+9}+9\ln\left(x+\sqrt{x^2+9}\right)$$ Vậy $I=\dfrac{1}{4}x(x^2+9)\sqrt{x^2+9}-\dfrac{9}{8}x\sqrt{x^2+9}-\dfrac{81}{8}\ln\left(x+\sqrt{x^2+9}\right)+C$

Tích phân 1

Tính tích phân $I = \displaystyle\int_0^4\frac{\ln\left( x + 1 \right)}{\sqrt {1 + 2x} }dx$

$$I = \int_0^4\ln \left( x + 1 \right)d\left( \sqrt {1 + 2x}  \right)  = \sqrt {1 + 2x} \ln \left(x + 1 \right)\Bigg|_0^4 - \int_0^4\frac{\sqrt {1 + 2x} }{x + 1}dx$$ Đặt $t=\sqrt{1+2x}\implies t^2=2x+1\implies tdt=dx$,
đổi cận $x=0\implies t=1$, $x=4\implies t=3$ $$I=3\ln5-\int_1^3\frac{2t^2}{t^2+1}dt=3\ln5-2\int_1^3\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)dt$$ $$I=3\ln5-2t\Bigg|_1^3+2\arctan t\Bigg|_1^3=3\ln5-4+2\arctan3-\frac{\pi}{2}$$