Processing math: 100%

Thứ Bảy, 25 tháng 1, 2014

Tích phân 2

Tính tích phân: I=\displaystyle\int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx

Đặt x=\tan t\implies dx=(1+\tan^2 t) dt \implies \dfrac{dx}{1+x^2}=dt
đổi cận x=0\implies t=0; x=1\implies t=\dfrac{\pi}{4} I= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+ \tan t ) dt. Đặt t=\dfrac{\pi}{4} -u \implies dt=-du, đổi cận t=0\implies u=\dfrac{\pi}{4}; t=\dfrac{\pi}{4}\implies u=0 I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \left(1+ \dfrac{1-\tan u}{1+\tan u} \right) du =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln \left( \dfrac{2}{1+\tan u} \right) du I= \ln 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}du-I
Vậy I=\dfrac{\pi}{8} \ln 2

Không có nhận xét nào: